jueves, 11 de abril de 2013

Referencias

www.wikipedia.com
Rena-Cuarta Etapa - fisica
http://e-ducativa.catedu.es
www.profisica.c

martes, 2 de abril de 2013

lunes, 1 de abril de 2013

Ley de Hooke

Originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

 \epsilon = \frac{\delta}{L} = \frac{F}{AE}

  • Alargamiento:
                \delta
  • Longitud Original:
               L
  • Modulo de Young:
               E
  • Sección transversal de la pieza estirada:
               A

  1. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.
  2. La ley de Hooke describe cuanto se alargará un resorte bajo una cierta fuerza.







  • Ley de Hooke para los resortes:
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza  ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento  producido:
F = - k\delta \,


  • Ley de Hooke en sólidos elásticos:
En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
De tal forma que la deformación  es una cantidad a dimensional  el modulo  se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo  (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de decencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de decencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo  para el que la similitud entre  y  deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

  • Caso unidimensional:
En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar , ,  y la ecuación anterior se reduce a:

 \sigma = E\epsilon \,

donde E es el módulo de Young.

  • Caso tridimensional isótropo:
Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:


\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}
Formulas De Caso Tridimensional Isotropo



  • Caso tridimensional ortótropo:

    El comportamiento elástico de un material orto trópico queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad longitudinal , 3 módulos de rigidez  y 3 coeficientes de Poisson . De hecho para un material orto trópico la relación entre las componentes del tensor tensión y las componentes del tensor deformación viene dada por:


\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{xx}\\
 \varepsilon_{yy}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1}{E_x} & -\frac{\nu_{yx}}{E_y} & -\frac{\nu_{zx}}{E_z} & & & \\
 -\frac{\nu_{xy}}{E_x} & \frac{1}{E_y} & -\frac{\nu_{zy}}{E_z} & & & \\
 -\frac{\nu_{xz}}{E_x} & -\frac{\nu_{yz}}{E_y} & \frac{1}{E_z} \\
 & & & \frac{1}{2G_{xy}} & 0 & 0 \\
 & & & 0 & \frac{1}{2G_{xz}} & 0 \\
 & & & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{yz}} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \sigma_{xx}\\
 \sigma_{yy}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
Formulas del Caso Tridimensional Ortotropo





Problema:



Para un resorte que cumple la ley de Hooke y que presenta como constante clásica de elasticidad el valor de 19.62 N/cm. Se le cuelga un objeto que causa una deformación de 58.86 cm. ¿Cuál es la masa del objeto?

K=19.62 N/cm             F=kx                  m=Kx/g
x=58.86                        W=mg         m=(19.62 N/cm)(58.86 cm)/9.81
g=9.81 m/s2                      Kx =mg             m/s2= 1154.83N/9.81 m/s2=
                                                                                                   117.72 Kg
m=117.72 Kg












Movimientos en dos dimensiones

Lanzamiento Horizontal:
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil.
Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta.




En este tipo de movimiento se lanza el proyectil con todo el impulso en dirección vertical por lo cual la Vx =V0 y la Vy = 0.
  • Formulas que se utilizan:




Problemas:

Desde lo alto de un acantilado de 5 m de alto se lanza horizontalmente una piedra con velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado choca la piedra?


Vx = 20 m/s                                   
t =
X = Voy = 0
g= -9.81 m/s2
Y = -5 m 




Y= gt^2 / 2
Resolviendo para “ t “ : 
t = 1.009637 s 
Calculo de “ t “ : 


 “ X “ : X=Vx (t) 
X = (20 m/s)(1.09637s) 
X = 20 m 




  • Movimiento Circular:

Es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección. 
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.

Medidas del desplazamiento angular. 

El ángulo en radianes es la razón entre la distancia del arco s y el radio R del arco. 
Un radian no tiene unidades y es la razón entre dos longitudes. 
La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con respecto al tiempo. 
La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo. 
Formulas que se utilizan:

Relación entre los movimientos rotacional y lineal. 
Existe una importante relación entre la velocidad angular y la lineal debido a que q /t = w y s/t = v, como s = q R entonces 

La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio de dirección del movimiento.



Problemas:


Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg.

a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo?

a) Cual es la rapidez promedio?


b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? L = 200 metros = 2 π r

Despejamos el radio


F = 3,01 Newton

Lanzamiento Horizontal

El movimiento de un proyectil en lanzamiento horizontal es un caso especial de movimiento en dos dimensiones

Cuando este tipo de movimiento se analiza como dos movimientos perpendiculares entre si, el desplazamiento en cada dirección depende de la velocidad y la aceleración en esa dirección

De este modo, el lanzamiento horizontal es un movimiento que consiste en un movimiento de un cuerpo que se lanza horizontalmente con una velocidad en el movimiento de un cuerpo que se lanza horizontalmente con una velocidad en el eje X, Vox, desde una cierta altura, y, sobre la superficie de la Tierra este movimiento es el resultado de dos movimientos perpendiculares entre si, teniendo las siguientes características:

  • Es un movimiento rectilíneo y uniforme en el eje X, con velocidad Vo
  • Es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado según el eje Y, con velocidad nula y aceleración -g
  • La trayectoria es curva y la forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje Y, y con un solo foco, es decir una parábola.
Para analizar el lanzamiento horizontal y del cuerpo en caída libre, debe emplearse un sistema de coordenadas X y Y perpendiculares  cuyo origen se encuentra ubicado en el punto de salida del proyectil. En este sentido, debe considerarse lo siguiente:
  • Si Vo es la magnitud de la velocidad inicial con la cual es lanzado el proyectil, su movimiento horizontal tendrá una velocidad constante de magnitud igual a Vo, ya que en esta dirección no actúa fuerza alguna;
  • En cambio, en la dirección vertical siempre actúa una fuerza constante sobre el proyectil, que es la fuerza de atracción gravitacional de Tierra. Así  en la dirección vertical, el movimiento es uniformemente acelerado con una aceleración de magnitud - g , donde g es el valor numérico de aceleración de la gravedad.
Así pues, en el movimiento horizontal las coordenadas de posición, X e Y:

  • Componente Horizontal:
        x= Vo t

  • Componente Vertical:
y = y0 - ½ gt2

  • Ecuación de la posición:


r = v0 t i+(y0 - ½ gt2)j .



Igualmente, combinando ambos movimientos se podrá conocer la velocidad del objeto en cualquier instante:

  • Velocidad de avance horizontal: 

                Vx = Vox

  • Velocidad de caída vertical: 

              Vy = -gt

  • Ecuación de la velocidad: 

         V = V0x - gt







Problema:

Un jugador de tenis situado a 12 m de la red, pretende hacer un tanto de saque (ace), para lo cual la bola tiene que botar a 6,4 m de la red, en campo contrario. Golpea la pelota a 2,30 m de altura, en dirección horizontal, con una velocidad de 108 km/h. Si la red se levanta hasta 90 cm de altura, ¿conseguirá su propósito el jugador?


Debemos saber si pasa por encima de la red y si entra antes de los 6,4 m.

v = 108 km/h = 30 m/s

La ecuación del movimiento es :



Es decir, en componentes:

x = 30 t

y = 2,3 - ½ 9,8 t2
Y la ecuación de la trayectoria:

y = 2,3 - ½ 9,8 /900 x2 = 2,3 - 0,0054 x2

Si la red está a 12 m , x = 12 ; y = 2,3 - 0,8 = 1,5 m

Y la pelota pasará a 1,5 - 0,9 = 0,6 m por encima de la red.

Si debe tocar la pista a 6,4 m de la red, x = 12 + 6,4 = 18,4 m

Para esta x, según la ecuación de la trayectoria, y = 0,5 m

Por tanto la pelota pasa alta sobre la línea de saque y no toca el suelo hasta que y = 0, lo que sucede cuando x = 20,6 m.

El jugador no consigue el tanto de saque (los tenistas sacan con un ángulo por debajo de la horizontal).